gong2022 1、1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(此题总分值15分,每题3分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线yx sin 2x在点-,1处的切线方程是22幕级数nx的收敛域是n 0 n 1齐次线性方程组x-1x2x30,x1x2x30,只有零解，那么应满足的条件是x1x2x30(4)设随机变量x的分布函数为0,x0,f xasi nx,0x ,贝 u a =,px261,x2 , 设随机变量x的数学期望e(x),方差d(x) 2,那么由切比雪夫(chebyshev)不等式,有px |3 .二、选择题(此题总分值15分，每题3分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 把所选项前的
2、字母填在题后的括号内.)()f x与x是同阶但非等价无穷小量f x是比x较低阶的无穷小量()df x f xd f x dx f x()(1) 设 f x2x 3x 2,那么当 x 0 时(b)(a) f x与x是等价无穷小量(c) f x是比x较高阶的无穷小量(d)(2) 在以下等式中，正确的结果是(a) f x dx f x(b)pl(c) f x dx f x(d)dx设a为n阶方阵且a 0,那么(a) a中必有两行(列)的元素对应成比例(b) a中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(c) a中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(d) a中至少有一行(列)的元
3、素全为0设a和b均为n n矩阵，那么必有()(a) a b ab(b)ab ba1(c) ab ba(d)ab a1 b(5)以a表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销,那么其对立事件a为(a)“甲种产品滞销，乙种产品畅销(b)甲、乙两种产品均畅销(c) “甲种产品滞销(d)甲种产品滞销或乙种产品畅销二、计算题(此题总分值15分,每题5分)(1)求极限lim sin1 xxx1cosxzf (u, v),ux y,v xy,且f(u,v)的二阶偏导数都连续求微分方程y 5y6y 2e x的通解.四、(此题总分值9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场该商品的需求函数为xp p(x) 10e 2且最
4、大需求量为6,其中x表示需求量，p表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3) 画出收益函数的图形.(3分) 五、(此题总分值9分)函数x, 0x1, f (x)2 x, 1 x 2.试计算以下各题:4s-i2 f (x 2)e xdx; (2 分)ssn .(2 分)n 02(1) so0 f(x)e xdx;(4 分)2n 2x sn2n f(x 2n)e dx(n 2,3,l ); (1 分)六、此题总分值6分假设函数fx在a,b上连续，在a,b内可导，且f x0 ,记1xf(x) - f(t)dt,x a
5、 a证明在(a,b)内,f (x)0.七、此题总分值5分0 1 011xax b,其中a111 , b20 ，求矩阵x1 0 153八、此题总分值6分设-1,1,1, 21,2,3, 31,3,t.1问当t为何值时，向量组1, 2, 3线性无关？3分 问当t为何值时，向量组1, 2, 3线性相关？1分 当向量组1, 2, 3线性相关时，将3表示为1和2的线性组合.2分九、此题总分值5分1 2 2设 a 212 .2 2 11试求矩阵a的特征值；2分利用1小题的结果，求矩阵e a 1的特征值，其中e是三阶单位矩阵.3分十、此题总分值7分随机变量 x和y的联合密度为(x y)f(x,y)0,0 x
6、 ,0 y其它.试求:1 px y ； 5 分e(xy).(2 分)十一、此题总分值8分设随机变量 x在2,5上服从均匀分布，现在对x进行三次独立观测，试求至少有两次 观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题(此题总分值15分,每题3分.)(1)【答案】y x【解析】对函数2x sin x 两边对 x 求导，得 y 12 sin xcosx,2sin cos 21.所以该曲线在点 一，1 处的切线的斜率为1,2 2所以 切线方程是(2)【答案】1,1)【解析】因系数alimananlim 伫 1,2即幕级数的收敛半径 r1,当1 x 1时幕级数绝对收敛当x
7、 1时得交错级数()_ (条件收敛)；当x 1时得正项级数 -1(发散).n 0 yj n 1n 0 yj n 1是,幕级数的收敛域是1,1).【答案】【解析】n个方程n个未知数的齐次方程组 ax 0有非零解的充分必要条件是a 0,因为此时未知数的个数等于方程的个数，即a为方阵时，用a 0判定比较方便所以当a【答案】1,21 11 0 01 10 1 01 1 11 1 11.所以此题应填:(1)2,1.【解析】由于任何随机变量 x的分布函数f(x)是右连续函数，因此对任何x,有f(x) f(x 0).对于x 2,有f$asi n2a,f(2 0)1.令 f2f2 0，得到 a1,其中 f(x
8、 0)lim f (x).又x 0p x p x 6 6 6因fx在x 处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此p x -0.所以p x p x 6 6 61sin.6 21【答案】9【解析】由切比雪夫不等式 p x exdxp x二、选择题此题总分值15分,每题3分.1【答案】b【解析】由洛必达法那么有(3 )22x limx 03x2xln23xln3ln2 ln3 .所以f x与x是同阶但非等价无穷小量【答案】c【解析】由不定积分的概念和性质可知ddxx dxf x dxf x dx df x f x c, c 为常数.d f x dx f x dx.故应选c.【答案】c【解析】此
9、题考查|a| 0的充分必要条件,而选项a、b、d都是充分条件,并不必要.因为对矩阵a来说,行和列具有等价性，所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了|a| 0的必要条件，但是不具有任意性，只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合112以3阶矩阵为例，假设a 123134条件(a)必有一列元素全为 0,(b)必有两列元素对应成比例均不成立,但有| a | 0 ,所以(a)、(b)不满足题意,不可选123假设a 1 2 4 ,那么|a|0，但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(d)不正确125这样用排除法可知应选(c).【答案】(c)【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时，可把行列式对该行(
10、列)拆开成两个行列式 之和，拆开时其它各行(列)均保持不变对于行列式的这一性质应当正确理解因此，假设要拆开n阶行列式 a b ,那么应当是2n个n阶行列式的和，所以(a)错误矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律，故(b)不正确1 00 1，b.a1而且 a b 1存在时，不一定a 1,b 1都存在，所以选项(d)是错误的由行列式乘法公式 ab a bb a ba 知(c)正确注意,行列式是数，故恒有abb a 而矩阵那么不行，故(b)不正确【答案】d【解析】设事件 b “甲种产品畅销，事件c“乙种产品滞销，那么 a事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销可表示为 a bc,那么
11、a bc buc “甲种产品滞销或乙种产品畅销，应选(d).三、计算题(此题总分值15分，每题5分)(1)【解析】这是1型未定式求极限设u -,那么当x 时，u 0.于是xlim(sinxcos1)xx1lim(sin u cosu)u1 sinu cosu 1令 sinucosut,那么u所以lim(1sinucosulim(1 sinu cosu 0 时 t 0,11)sin u cosu 11)sin u cosu 1 ulim(1t 0、sinu cosu 11t)t_e,lim(1由洛必达法那么得所以sinucosu1)sin u cosu 1sinu cosu 1lim eu 0s
12、in u cosu 1 limeu 0 u所以limsinu cosu 1u 0lim(sin -xu1xcos-)xlimu 0cosu sinu11,【解析】方法先求_?,再求x2.由复合函数求导法那么u2fvxyv2u 0xyv2方法二:利用一阶全微分形式不变性，可得u2(x rdz f1 d(x y) f2d(xy)f (dx dy) f2 (ydx xdy)(f1yf2 )dx (f1xf2)dy.于是有zxf1yf2 .再对y外求偏导数，即得zxy(f1)yy(f2)y彳2齢乂切y( f?1xf?)fii (x y)fi2 xyf22f2 .【相关知识点】复合函数求导法那么:假设u
13、 u(x, y)和v v(x, y)在点(x,y)处偏导数存在那么复合函数 z f u(x, y),v(x,y)在点函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数(x, y)处的偏导数存在，且zf uf v zf ufvxu xv x yu yvy(3)【解析】微分方程y 5y 6y2e对应的齐次方程y5y 6y 0的特征方程为2r 5r 60,特征根为2, r22x3 ,故对应齐次微分方程的通解为c1e小3xc2e设所给非齐次方程的特解为y*(x) ae x,代入方程y 5y 6y 2e x,比较系数，得a 1,故所求方程的通解为y cie2x c2e3x e x, 02?
14、为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果f (x) pm(x)e x,那么二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x)y q(x)y f (x)具有形如kx qm(x)e的特解，其中qm(x)与pm(x)同次(m次)的多项式，而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、 1或2.四、(此题总分值9分)【解析】(1)收益函数xr(x) xp 10xe 2,0 x 6.边际收益函数mrdrdxx5(2 x)e 2xx)e 20,得 x 2.d2rdx2 x 25(xx4)e三x 20.因此r(x)在x 2取极大值.又因为极值点惟,故此极大值必为最大值,最大值为r(
15、2)20e所以，当生产量为2020 .而相应的价格为10eex0,2)2(2,4)4(4,6r+0-r 1-0+r,凸极大值20e,凸拐点40 (4,_t) e,凹2时，收益取最大值，收益最大值为由以上分析可列下表，并画出收益函数的图形.五、(此题总分值9分)【解析】(1) f(x)为分段函数,由定积分的性质s0: f(x)exdx1 f (x)e xdx0f (x)e xdx1xe xdx02(2 x)e xdxxde x21 (x 2)de xxxe1e xdx(x2)e2e xdx1丄2 e1)12 e(2)用定积分换元法1.t,那么x2,dxdt,所以s1s0s142住2)e xdxf
16、 (x)e xdx用
定积分换元法丄2e20 f(t)e2(t2)dt2t0 f (t)e dt,0f(t)etdtse22(4令 x 2n t ,那么 x t 2n,dx dt,所以snsosnf (x 2n)e xdx2n2 10 f (x)e xdx 孑(4)利用以上结果2n 20,有f (t)e rdtsnn 02o f(t)e(t 2n)dt1,soe2nsoe2n2n e2 f(t)e tdto1).e2s0e2 1so丄21e2 t六、(此题总分值6分)1【解析】对f (x)x axf (t) dt两边对x求导，得 af (x)xa f(t)dt f(x) (xxa)
17、f (x) a f(t)dt(x a)2x a(x a)2-2 ex证法一:由积分中值定理知，在(a, x)内存在一点使得 f (t)dt f ( )(x a),ax所以 f (x) (x a)f(x) afdt (x a)f(x)f()(x a) f(x)f()(x a)2(xa)2xa又因为 f (x)0,a x,故有 f (x) f( )0 ,所以 f (x)0 .x 证法二:令 g(x) (x a) f (x) f(t)dt,那么ag (x) f (x) (x a)f (x) f (x) (x a)f (x).因为 x a, f (x)0,所以 g (x)0,x即 g(x) (x a)
18、f(x) f(t)dt 在(a,b)上为减函数，所以 g(x) g(a) 0,a所以 f (x)0.(x a)2七、(此题总分值5分)【解析】方法一:此题可采用一般的解法如下:由 x ax b,得 e a x b.因为所以1 10211131xe a b -3212020301153111 0 20e a xb作初等行变换e amb方法二:此题还可用由emk ，此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量e a mb 10110m11011m11003m331第三行自乘 丄，再加到第二行上，第二;100m31行再加口到第-行上,有010m203001m11第一行乘以 1分别加到第二行和第三
19、行上，再第三行乘以1加到第三行上，得31所以x 201 1八、此题总分值6分【解析】m个n维向量1, 2,l线性相关的充分必要条件是齐次方程组x2有非零解.特别地，n个n维向量1, 2丄n线性相关的充分必要条件是行列式1,2 ,l , n0.由于1221 221120340210 21342121150,有故当3线性无关；t5时向量组5,3线性相关.5 时,设 1x2 23将坐标代入有x1x1x22x23x21,3,解出x15.1,x22.即2 2.此题总分值5分九、【解析】1矩阵a的特征方程为经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换故矩阵a的特征值为:1,1, 5.为a的特征值可知，存在非零
20、向量,两端左乘a 1,得因为0,故 0,于是有a1-.按特征值定义知丄是a1的特征值.1由a的特征值是1,1, 5,可知a 1的特征值为1 1丄又因为 dyy(ie y)dy2y(2)
21、由二维连续型随机变量的数学期望定义得e(xy)xyf(x, y)dxdyxye (x y)dxdy0 xe xdxye ydy .因为由分部积分法有0 ye ydy0 ydeyee ydyyey由洛必达法那么，对一型极限，有lim yeylimy0.所以有e(xy) 1.十一、(此题总分值8分)【解析】以a表示事件“对 x的观测值大于3 ,依题意，x的概率密度函数为,2 x 5, f(x) 30, 其它.512因此p(a) px 3-dx p.3 33设随机变量y表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件2现的次数).显然，y服从参数n 3, p -的二项分布，因此，所求概率为32 1220py 2 py 2 py 3 c3(-)2(-) (-)3.3 332/【相关知识点】二项分布的概率计算公式:假设y b(n, p),那么p y kc:pk(1 p)n k, k 0,1,l ,n.
